奈氏判据

大二下学期的自控原理涉及到了复变函数的知识,然而听的并不是很明白,奈奎斯特稳定判据虽然会用,但是一直不理解推导的过程,最近仔细查了原理,大概搞清楚了一些。

辐角原理

定义:设s平面闭合曲线T包围F(s)的Z个零点和P个极点,则s沿T顺时针运动一周时,在F(s)平面上,F(s)闭合曲线T逆时针包围原点的圈数 R=P-Z

奈奎斯特曲线

对于一个控制系统,开环传递函数G(s)已知

$G(s)=\frac{(s-p_1)(s-p_2)…}{(s-z_1)(s-z_2)…}=\frac{A(s)}{B(s)}$

要求的是特征方程$F(s)=G(s)+1=0$—>$\frac{A(s)+B(s)}{B(s)}=0$的根,即闭环特征根,闭环传递函数的极点是F(s)的零点,闭环传递函数的零点是F(s)的极点,根据辐角原理,如果已知F(s)的极点和F(s)包围原点的圈数,就可以求出F(s)的零点。

在s平面上,做一个足够大的闭合曲线$M$将所有的零点极点全部包围在内,奈奎斯特曲线是这个闭合曲线的右半部份,绕过虚轴上的零点和极点。

奈氏判据

然后顺时针沿着闭合曲线$M$将s映射到G(s)平面,在复平面上,G(s)曲线是F(s)曲线沿实轴负方向移动一个单位长度的结果,因此F(s)包围原点的圈数等于G(s)包围(-1,j0) 的圈数。根据辐角原理可知,s右半平面上的所有零点和极点被奈奎斯特曲线包围,因此G(s)平面上的曲线,$R_1=p_1-z_1$,$R_1$代表G(s)曲线逆时针包围(-1,j0)的圈数,$z_1$是右半平面的开环零点数目,$p_1$是右半平面的开环极点数目,根据系统稳定的充要条件,特征方程的根在s平面的左半平面,因此只需F(s)在右半平面的零点数目$z_1=p_1-R_1=0$,由于只绘制了G(s)的$\omega$从$0-\infty$的部分,因此$R_1=2(N_1-N_2)$,$N_1,N_2$分别代表从(-1,j0)左侧从上至下穿越和从下至上穿越的次数。

简而言之,奈氏判据利用复变函数的性质将是否存在右半平面闭环极点的问题转化为了分析开环传函的极点以及在复平面上的曲线的特点,作为频域稳定判据。

第一次用Latex在这里写公式,bug挺多,Latex符号也忘差不多了
http://blog.sina.com.cn/s/blog_78a6df1d0101630x.html 仅作为参考

Thanks!