霍夫变换(Hough-Transform)-MATLAB

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原理

首先简要介绍一下什么是霍夫变换,以及它可以实现什么。霍夫变换最早用于提取图像中的直线,后来经过不断的改进,已经可以用来提取圆,正方形等简单的线条或形状。下面的介绍主要根据MATLAB提供的帮助文档,从原理到函数。

基本原理:点——线的对偶性质

既然要找到图像中的直线,就需要用某种方式来表示每一条直线,霍夫变换将二维空间中所有的直线映射到以theta&rho为坐标轴的二维空间中,theta代表原点到直线的垂线与x轴所成夹角,rho表示原点到直线距离的二倍,由于图像是离散的二维函数,因此只需将theta分为360等份,rho从0递增(+1),近似地表示每一条直线,为了对直线上的点计数,用二维矩阵存储每一组theta和rho的直线上的像素点的数目。如何判断离散的像素点是否在直线上呢?对每一个非背景像素点,只需对每一个theta,计算对应的rho,计算公式如下:
然后将矩阵中对应该theta和rho的位置加1,表示此点在这条直线上。对所有非背景像素点都做上述处理。

下图是一个像素点映射到 theta&rho 空间的示意图

这样,我们便能够得到每条直线上的像素点的数目,毋庸置疑,像素点数目越多的直线,更有可能在图像中是一条直线边界。

性质:

  • 直角坐标系中一个点映射到参数空间中一条正弦曲线
  • 参数空间中一个点对应直角坐标中一条直线
  • 直角坐标中共线点映射到参数空间中一个交于同一点的曲线簇

Hough Transform -MATLAB 实现

霍夫变换

MATLAB提供了进行霍夫变换的函数:

[H,theta,rho] = hough(BW)
[H,theta,rho] = hough(BW,Parametername,Parametervalue)

BW必须为逻辑类型或数值型的二维实矩阵,hough函数有两组可选参数值对:当ParameterName 为’RhoResolution’时,ParameterValue 的值指定了rho轴的步长,也就是说rho越小,直线越密集,默认步长为1;当ParameterName 为’Theta’时,ParameterValue 表示theta的范围和步长,例如-80:0.5:85 表示theta从-80°到85°,步长为0.5°,默认值为-90:89.

返回值theta为一个行向量,表示直线的theta值由小至大的所有取值,rho也是一个行向量,表示点到直线距离由小到大的所有取值,若theta尺寸为p,rho尺寸为q,返回值H是一个尺寸为 q*p 的二维矩阵,表示相应行的rho和相应列的theta唯一表示的直线上在图像上的像素的个数。

挑选峰值直线

接下来,需要挑选出符合要求的直线,MATLAB提供了找出矩阵H中峰值的函数:

peaks = houghpeaks(H,numpeaks)
peaks = houghpeaks(H,numpeaks,param1,val1,param2,val2)

numpeaks表示寻找峰值的最大数目,默认值为1;可选参数有两个,一是’Threshold’,参数值为可以被选为峰值的最小值,默认为0.5*max(H(:)),即 H 中最大值的一半,二是’NHoodSize’,参数值为一个矩阵[M N],当某条直线被选为峰值后,该直线在矩阵 H 中的位置的上下共M,左右共N的区间内全部置零,以防在该区域有多条峰值直线密集分布,默认值为size(H)/50.

显示直线

找到了峰值对应的直线,那么如何让这条直线在图片中显示出来,供我们检验是否得到了正确的结果呢?这里需要利用另外一个函数:

lines = houghlines(BW,theta,rho,peaks)
lines = houghlines(BW,theta,rho,peaks,param1,val1,param2,val2)

这里的BW,theta,rho,peaks都与前面的数据一致,函数返回一个结构体数组,大小为挑选出的可显示直线的数目(可显示是指如果两条线段在同一条直线上,它们算作不同的线)。结构体的成员变量有:point1,point2,theta,rho,分别代表线段首在二维图像中的坐标,线段尾的坐标,该线段在霍夫变换后对应的theta和rho。两个可选参数为:’FillGap’,表示同一直线上的点距离多远可以将其连成线段,默认值为20;’MinLength’,表示筛选的线段长度的最小值,默认为40.

接下来就可以将得到的线段plot在原图中查看效果了。例子就不举了,MATLAB帮助文档里面搜索Hough Transform 就能看到一个详细的例子。

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